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× w
→
→
u negativo
u positivog(0.40) = 1
CAPÍTULO 01 · PERCEPTRON
Como uma máquina aprende a tomar uma decisão?
Antes da matemática, experimente: entregue sinais ao neurônio, altere a importância de cada um e observe a decisão mudar.
Explorar o neurônio ↓Informações→Perceptron
combina evidências→Decisão
combina evidências→Decisão
PARTE TEÓRICA · PERCEPTRON
Do neurônio artificial ao aprendizado.
01 · MODELO
Anatomia de um Perceptron
Leia o diagrama da esquerda para a direita: cada exemplo chega como números, esses números são ponderados, somados com um ajuste de referência e, por fim, convertidos em uma decisão.
1. Entradas · x₁ … xₙ
São as características que descrevem um exemplo. Em uma porta lógica, x₁ e x₂ valem 0 ou 1; em uma imagem, poderiam ser valores de pixels.
2. Pesos · w₁ … wₙ
Cada peso indica quanto uma entrada influencia a decisão. Um valor positivo favorece a ativação; um valor negativo atua no sentido oposto.
3. Combinador linear · Σ
Multiplica cada entrada por seu peso e soma os resultados. Essa soma representa a evidência acumulada pelo neurônio.
4. Bias · b / limiar · θ
Desloca a fronteira de decisão e ajusta o ponto de referência. As notações são equivalentes quando b = −θ.
5. Potencial · u
É o resultado antes da ativação: u = Σ(wᵢxᵢ) + b. No plano, a condição u = 0 define a fronteira.
6. Ativação e saída · g(u), ŷ
A função transforma o potencial u na previsão ŷ. No Perceptron clássico, o degrau produz uma saída binária: 0 ou 1. O símbolo ŷ significa “valor de y previsto pelo modelo”.
u = ∑ᵢ wᵢ · xᵢ + b
ŷ = g(u)
ŷ = g(u)
02 · TREINAMENTO
Errar, ajustar e repetir
Treinar significa apresentar exemplos ao modelo várias vezes. Uma época é uma passagem completa por todos os exemplos. A taxa de aprendizado η define o tamanho de cada correção: alta demais pode provocar oscilações; baixa demais torna o aprendizado lento.
1. ForwardCalcule u e a previsão ŷ.
2. ErroCompare o alvo y com ŷ.
3. AjusteAtualize pesos e bias.
4. ÉpocasRepita até convergir ou atingir o limite.
Regra de aprendizagem do Perceptron
erro = y − ŷ
wᵢ ← wᵢ + η · erro · xᵢ
b ← b + η · erro
wᵢ ← wᵢ + η · erro · xᵢ
b ← b + η · erro
O que significa y − ŷ?
Essa subtração mede a diferença entre a resposta correta e a decisão tomada pelo Perceptron.
y · resposta esperada
É o rótulo correto informado no conjunto de treinamento. Por exemplo, y = 1 significa que o exemplo pertence à classe positiva.
ŷ · resposta prevista
Lê-se “y chapéu”. É a resposta calculada pelo Perceptron depois da combinação linear e da função de ativação.
| Situação | Cálculo | O que acontece |
|---|---|---|
| Acertou | 1 − 1 = 0 ou 0 − 0 = 0 | O erro é zero; pesos e bias não precisam ser alterados. |
| Deveria prever 1 | 1 − 0 = 1 | O erro positivo aumenta a tendência de o neurônio ativar para essa entrada. |
| Deveria prever 0 | 0 − 1 = −1 | O erro negativo reduz a tendência de o neurônio ativar para essa entrada. |
Se os dados forem linearmente separáveis, a regra encontra uma solução em um número finito de atualizações. XOR é o contraexemplo clássico: seus pontos não podem ser separados por uma única reta.
ADALINE e Regra Delta
ADALINE calcula o erro na saída linear, antes de aplicar um limiar. Sua Regra Delta minimiza o erro quadrático médio usando o gradiente, produzindo um aprendizado mais suave.
APROFUNDAMENTO · BIAS
O bias define onde o neurônio começa a decidir.
O bias é um valor treinável somado ao potencial de ativação. Enquanto cada peso multiplica uma entrada, o bias entra diretamente na soma, como se estivesse ligado a uma entrada fixa de valor 1.
Ele permite que o Perceptron produza uma resposta diferente de zero mesmo quando todas as entradas valem zero. Geometricamente, alterar apenas o bias desloca a fronteira w₁x₁ + w₂x₂ + b = 0 sem mudar sua inclinação.
bnovo = batual + (η × erro)
A taxa de aprendizado η controla o tamanho da correção. Se o erro for positivo, o bias aumenta; se for negativo, diminui; se o erro for zero, não muda.
EXPERIMENTO 01
Monte uma decisão por dentro
Clique em uma etapa do neurônio para saber o que ela faz. Depois use os controles: tudo abaixo é recalculado na hora.
CONTROLES DIRETOS
Altere os valores do neurônio
EXPERIMENTO 02
Peso → equação → fronteira → classificação
Os mesmos pesos movem a reta w₁x₁ + w₂x₂ + b = 0. Ajuste os controles acima e observe cada etapa da montagem da função.
Azul = classe A · Laranja = classe B · Clique em um ponto para incluí-lo na exploração.
EXPLICANDO MATEMATICAMENTE CADA ETAPA
Agora veja o Perceptron aprender, conta por conta
As fases abaixo usam a mesma amostra da porta AND. A previsão começa errada; então acompanhamos exatamente como o erro corrige os pesos e o bias.
1FASE DE ENTRADA
Organizar os dados e o que deve ser aprendido
As entradas descrevem o exemplo. O alvo y informa a resposta correta somente durante o treinamento.
Vetor de entradax = [x₁, x₂]ᵀ = [1, 0]ᵀResposta esperaday = AND(1, 0) = 0
Leitura: como uma das entradas é zero, a porta AND deve responder zero.
2FORWARD · COMBINAÇÃO LINEAR
Calcular o potencial de ativação u
Cada entrada é multiplicada pelo seu peso. Depois, as contribuições são somadas ao bias.
Fórmula geralu = ∑ᵢ₌₁ⁿ(wᵢxᵢ) + bExpansão para duas entradasu = (w₁x₁) + (w₂x₂) + bSubstituiçãou = (0,40 × 1) + (0,30 × 0) − 0,20Somatóriau = 0,40 + 0 − 0,20 = 0,20
Leitura: x₁ contribuiu com 0,40; x₂ não contribuiu porque vale zero; o bias retirou 0,20. A evidência final foi u = 0,20.
3FORWARD · ATIVAÇÃO
Transformar u na previsão ŷ
O Perceptron clássico aplica a função degrau. Ela converte o potencial contínuo em uma decisão binária.
Função StepStep(u) = 1, se u ≥ 0
Step(u) = 0, se u < 0Aplicaçãoŷ = Step(0,20) = 1
Step(u) = 0, se u < 0Aplicaçãoŷ = Step(0,20) = 1
Leitura: como 0,20 é positivo, o modelo ativou e previu 1. O símbolo ŷ é a resposta prevista; ainda não sabemos se ela está correta.
4COMPARAÇÃO · ERRO
Comparar o alvo y com a previsão ŷ
O sinal do erro informa a direção da correção. Erro negativo significa que o neurônio ativou quando deveria permanecer desativado.
Erro de classificaçãoe = y − ŷSubstituiçãoe = 0 − 1 = −1
Leitura: a previsão está errada. O valor e = −1 mandará diminuir o potencial para esta entrada.
5AJUSTE · DELTAS
Calcular quanto cada parâmetro deve mudar
A taxa de aprendizado η controla o tamanho do passo. Cada peso também depende de sua entrada; o bias equivale a um peso ligado à entrada constante 1.
Regras geraisΔwᵢ = η · e · xᵢ
Δb = η · eCorreção de w₁Δw₁ = 0,20 × (−1) × 1 = −0,20Correção de w₂Δw₂ = 0,20 × (−1) × 0 = 0Correção do biasΔb = 0,20 × (−1) = −0,20
Δb = η · eCorreção de w₁Δw₁ = 0,20 × (−1) × 1 = −0,20Correção de w₂Δw₂ = 0,20 × (−1) × 0 = 0Correção do biasΔb = 0,20 × (−1) = −0,20
Leitura: w₁ e b diminuem. w₂ não muda porque x₂ vale zero e, portanto, não participou do erro desta amostra.
6AJUSTE · NOVOS PARÂMETROS
Somar cada correção ao valor atual
Os deltas calculados não substituem os parâmetros: eles são adicionados aos valores anteriores.
Novo peso w₁w₁′ = 0,40 + (−0,20) = 0,20Novo peso w₂w₂′ = 0,30 + 0 = 0,30Novo biasb′ = −0,20 + (−0,20) = −0,40
| Parâmetro | Antes | Correção | Depois |
|---|---|---|---|
| w₁ | 0,40 | −0,20 | 0,20 |
| w₂ | 0,30 | 0 | 0,30 |
| b | −0,20 | −0,20 | −0,40 |
7VERIFICAÇÃO · NOVO FORWARD
Refazer a conta com os parâmetros atualizados
Para verificar o aprendizado, apresentamos a mesma entrada novamente, agora usando w₁′, w₂′ e b′.
Novo potencialu′ = (0,20 × 1) + (0,30 × 0) − 0,40u′ = 0,20 + 0 − 0,40 = −0,20Nova previsãoŷ′ = Step(−0,20) = 0Novo erroe′ = y − ŷ′ = 0 − 0 = 0
Resultado: para esta amostra, a previsão passou de 1 para 0 e o erro de classificação passou de −1 para zero.
8REPETIÇÃO · ÉPOCAS
Aplicar o ciclo ao conjunto inteiro
Uma época termina quando todas as amostras foram apresentadas uma vez. O treinamento é sequencial: cada amostra já recebe os parâmetros deixados pela anterior.
| Amostra AND | x₁ | x₂ | y |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 1 | 0 |
| 3 | 1 | 0 | 0 |
| 4 | 1 | 1 | 1 |
Erro total da épocaErroₑₚ = |e₁| + |e₂| + |e₃| + |e₄|Critério didático de convergênciaErroₑₚ = 0 → todas as amostras foram classificadas corretamente
Importante: se ainda existir erro, começa outra época. O ciclo continua até convergir ou alcançar o limite definido.
PRÓXIMO CAPÍTULO
Um neurônio não resolve tudo.
O Perceptron classifica dados linearmente separáveis, mas não resolve XOR sozinho nem fronteiras complexas. O próximo passo é combinar neurônios.
Explorar fronteiras não lineares →