Função quadrática
y = ax² + bx + c + ε
ŷ = ax² + bx + c
ŷ = ax² + bx + c
O termo x² permite que a inclinação mude. A função pode diminuir, atingir um mínimo e depois aumentar — comportamento impossível para uma única reta.
MACHINE LEARNING · REGRESSÃO NÃO LINEAR
Representar uma relação que muda de direção.
Na regressão não linear, o efeito de uma entrada sobre a resposta não é constante em toda a escala. Usamos uma função curva para descrever essa dependência e calcular previsões.
Entender a parábola01 · RELAÇÃO NÃO LINEAR
A variação de y depende do ponto em que x está.
Uma parábola é o exemplo matemático mais simples para visualizar uma relação curva.
O papel dos coeficientes
acontrola a curvatura e o sentido da abertura
binclina e desloca a posição do vértice
cdefine a previsão quando x = 0
εrepresenta ruído e fatores não incluídos
02 · DA FUNÇÃO À PREVISÃO
Substituímos x na função curva.
Equação encontrada
ŷ = 0,5x² − 2x + 6
Como a = 0,5 é positivo, a parábola abre para cima. O efeito marginal não é constante: a derivada é dŷ/dx = x − 2.
Nova entrada x = 4
ŷ = 0,5x² − 2x + 6
ŷ = 0,5·4² − 2·4 + 6
ŷ = 0,5·16 − 8 + 6
ŷ = 8 − 8 + 6
ŷ = 6
03 · GRÁFICO INTERATIVO
Mova os pontos e molde a parábola.
Altere a, b e c, arraste os dados e compare a solução direta com o ajuste iterativo.
Arraste os círculos para mudar x e y.Tracejado laranja: resíduo eᵢ = yᵢ − ŷᵢ
Comece experimentando. Arraste os pontos, altere os coeficientes ou escolha um método de cálculo.
04 · TODA A MATEMÁTICA VISÍVEL
A função mudou; o conceito de erro permanece.
| Amostra | xᵢ | yᵢ real | ŷᵢ previsto | eᵢ = yᵢ−ŷᵢ | eᵢ² |
|---|
Calcule xᵢ² para cada entrada.
xᵢ → [xᵢ², xᵢ, 1]Aplique os três coeficientes.
ŷᵢ = axᵢ² + bxᵢ + cCompare o observado com a curva.
eᵢ = yᵢ − ŷᵢSome e tire a média dos quadrados.
MSE = (1/n)Σeᵢ²05 · COMO ENCONTRAR a, b E c?
A curva também pode ser calculada de duas formas.
OLS com características polinomiais
Adicionamos x² como uma nova coluna. O problema passa a ter três coeficientes, encontrados simultaneamente pelas equações normais.
X = [x² x 1]
θ̂ = (XᵀX)⁻¹Xᵀy
θ̂ = [a b c]ᵀ
θ̂ = (XᵀX)⁻¹Xᵀy
θ̂ = [a b c]ᵀ
A curva é não linear em x, mas linear nos coeficientes a, b e c. Por isso mínimos quadrados ainda funciona.
Gradiente descendente
Também podemos iniciar a, b e c com valores quaisquer e reduzi-los ou aumentá-los aos poucos.
∂MSE/∂a = (2/n)Σ(ŷᵢ−yᵢ)xᵢ²
∂MSE/∂b = (2/n)Σ(ŷᵢ−yᵢ)xᵢ
∂MSE/∂c = (2/n)Σ(ŷᵢ−yᵢ)
a ← a − η·∂MSE/∂a
b ← b − η·∂MSE/∂b
c ← c − η·∂MSE/∂c
∂MSE/∂b = (2/n)Σ(ŷᵢ−yᵢ)xᵢ
∂MSE/∂c = (2/n)Σ(ŷᵢ−yᵢ)
a ← a − η·∂MSE/∂a
b ← b − η·∂MSE/∂b
c ← c − η·∂MSE/∂c
06 · OUTRAS FUNÇÕES
Nem toda relação curva é uma parábola.
| Comportamento observado | Função candidata | Equação ilustrativa | Cuidado |
|---|---|---|---|
| Crescimento que acelera | Exponencial | ŷ = a·eᵇˣ | Extrapola rapidamente. |
| Cresce e depois estabiliza | Logística | ŷ = L ÷ (1+e⁻ᵏ⁽ˣ⁻ˣ⁰⁾) | Exige estimar limite e ponto de inflexão. |
| Retorno decrescente | Logarítmica | ŷ = a·ln(x) + b | Requer x positivo. |
| Oscilação periódica | Senoidal | ŷ = a·sen(bx+c) | Frequência e fase precisam ser identificadas. |
E AS REDES NEURAIS?
Uma RNA pode aprender a função sem receber uma parábola pronta.
Camadas ocultas combinam pesos, bias e funções de ativação para aproximar relações não lineares. A saída de regressão continua produzindo ŷ e o treinamento ainda reduz uma função de erro, mas a arquitetura possui muito mais parâmetros.
IDEIA PARA LEVAR
A previsão nasce de uma função aprendida nos dados.
Na reta, a inclinação é constante. Na curva, ela varia. Em ambos os casos, calculamos ŷ, medimos os resíduos e escolhemos coeficientes que reduzem o erro.
Revisar regressão linear